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  • 小浪底水力发电站涡轮发电机的最优化

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  小浪底水力发电站涡轮发电机的最优化_理学_上等训诫_训诫专区。数学修模最优化题目

  一个微积分中的 Project 题目 ——小浪底水力发电站涡轮发电机的最优化 章栋恩 评注: 这个题目正在我讲最优化一讲时举动习题留给民众,但从来没有学生回应,是否会 解也不知道。这回我正在中外微积分教材斗劲商量中,整饬少少 Project,我以为解这个题目 很蓄意义。它的解法显示了从大凡的数学操纵题到修模的改变、提拔。由于解这个题目,不 仅仅是用一次拉格朗日乘子法,而是对一个参数(总水流量)正在某区间上按肯定步长全程用 拉格朗日乘子法求解最优值。况且配配合图才具更好地会意。如许就务必用谋划机求解。这 是数学修模的特征之一。由于没有机缘给这一届学生讲了,是以正在这里约略地作一个解答。 为了简单,我应用了 Mathematica 软件,外面上说,用 Matlab 也是没有题目的(大凡说, 民众支配 Matlab 就足够了。 心愿同窗们 )。 (每组中担任谋划机与数学模子的同窗更应练练) 遵从下面题解的思绪,尝尝 Matlab 是否能解出来。 本课题来自 Stewart 编《Calculus》 (第 5 版)下册 p.282 的第十四章:众元函数的偏导 数一面。 解 1. 设三个涡轮机都应用。由于每个涡轮机的电力产量为 2 KW1 = ( ?18.98 + 0.1277Q1 ? 4.08 ? 10?5 Q12 )(170 ? 1.6 ? 10 ?6 QT ) 2 2 KW2 = ( ?24.51 + 0.1358Q2 ? 4.69 ? 10 ?5 Q2 )(170 ? 1.6 ? 10 ?6 QT ) 2 KW3 = ( ?27.02 + 0.1380Q3 ? 3.84 ? 10?5 Q32 )(170 ? 1.6 ? 10?6 QT ) 是以倾向函数为 f = KW1 + KW2 + KW3 其拘束要求有不等式拘束 250 ≤ Q1 ≤ 1110, 250 ≤ Q2 ≤ 1110, 250 ≤ Q3 ≤ 1225 及等式拘束 Q1 + Q2 + Q3 = QT 个中 QT 照样一个参数。为了简化题目,先不探讨不等式拘束,只探讨等式拘束。用拉格朗 日乘子措施求极值。引入辅助函数 F = KW1 + KW2 + KW3 ? λ (Q1 + Q2 + Q3 ? QT ) ? ?F ? ?Q = 0 ? 1 ? ?F ? ?Q = 0 ? 2 ? ? ?F = 0 ? ?Q3 ? ? ?F = 0 ? ?λ ? 对方程组 用数学软件 Mathematica(其他软件也可能)固然可能取得体式上的解,然则因为 QT 是参数 以及流露式的庞杂性,其结果没有本质旨趣。以是探讨把方程组中总的水流量 QT 用少少数 值代入,再求得使总的发电量最大时各台涡轮机的水流量 Qi (i = 1, 2, 3) . 下面的图便是当 QT 从 850 ft 3 / s 到 3500 ft 3 / s 时, 发电量最大时各台涡轮机的水流量 Qi (i = 1, 2, 3) 的最优 值(每个 QT 都要用拉格朗日乘子法谋划)分拨图(用 Matlab 编程,尝尝) 。 Qi 1200 1000 800 600 400 200 3 1 2 QT 1000 1500 2000 2500 3000 3500 2. 经谋划当 955 ≤ QT ≤ 3230 时上述结果是有用的。 3. 当总水流量 QT = 2500 时,三台涡轮机的水流散布为 Q1 = 777.3, Q2 = 762.6, Q3 = 960.1 这时最大发电量为 28411.7KW. 4. 当水流量为 1000 时,倘若应用三台涡轮机发电,最大发电量只要 8397 KW(拉格朗日乘 子法) 。而探讨只用一台涡轮机发电(第三台) ,则最大发电量为 12222.5KW. 倘若水流量为 600,则只用第一台,最大发电量为 7292KW。这是遵循单台涡轮机发电量函数谋划出来的。 它们的图形如下 KWi 3 14000 1 12000 10000 8000 QT 800 1000 1200 1400 5. 有些境况下采用两台涡轮机发电更好。当水流量为 1500 时,若采用三台涡轮机发电,则 最大发电量只要 16538.7(拉格朗日乘子法) 。探讨采用两台发电机,则应用第一和第三台发 电 机 时 , 最 大 发 电 量 为 18208.3KW ( 也 用 拉 格 朗 日 乘 子 法 , 最 优 水 流 量 分 配 为 2 Q1 = 662.247, Q3 = 837.753 ) ;应用第二和第三台发电机时,最大发电量为 17720.6KW; 应用第一和第二台发电机时,最大发电量为 17454.8KW。明晰应当采用第一和第三台发电 机发电,发电量最大。 6. 倘若水流量是 3400,它超过 1 的结果所合用的限度。从三台发电机各自的发电函数与拉 格朗日乘子法取得的最优水流分拨图形看出, 让涡轮机 3 和涡轮机 1 满负荷发电成绩会斗劲 好。经谋划,确实是如许。最大发电量达 33924.0KW。




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